Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE919213
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Nem-standard analízis
2. A tárgy angol címe Non-standard analysis
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 0 + 0 v Kredit 2
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE911543 HalmelmMatlog
4.2 BMETE91AM06 MatLogika
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Algebra Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Ferenczi Miklós beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2008.04.24. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2008.05.20.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
Matematikai logika
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
Választható tárgy matematikus hallgatók részére (MSc, BSc, PhD)
11. A tárgy részletes tematikája
Rövid történeti áttekintés, a valós számok kialakulása, az infinitezimális mennyiség fogalma. Az elmélet tárgyalása elsőrendű logikában. Nem-standard bővítés a kompaktsági tétel segítségével, konkurrencia fogalma. Az elsőrendű nyelv szerepe. A nem-standard egész számok struktúrájáról, néhány számelméleti alapfogalom. Nem-standard bővítés ultrahatványok segítségével. Modellek elemi kiterjesztésének fogalma. A "permanencia elv"-ről. A nem-standard számok szemléletes fogalmáról, analógiák a valós számok bevezetésével, a racionálisok teljessé tételének eljárásával. Az elmélet tárgyalása egy másodrendűvé kibővített logikában. Elsőrendű ultrahatvá- nyok bővítése. A belső halmazok algebrája. Korlátos belső halmaznak van supremuma. Belső halmazok szaturáltsága. A szóban forgó másod - rendű logika nyelve és a belső halmazok definiálhatósági tulajdonsága. Hiper-végesség fogalma, hiper-véges összegek. A tárgyalás vázlata a típus logikában illetve annak megfelelő többfajtájú logikában – mint a másodrendű eset általánosítása. A Henkin féle gyenge modell fogalma. Magasabbrendű struktúrák beágyazásai gyenge magasabb rendű struktúrákba úgy, hogy az eredetin konkurrens formula-halmazok kielégíthetők legyenek. Kapcsolatok a halmazelmélettel, tranzitivitás, meghatározottsági tulajdonság. Az axiomatikus tárgyalás. Az axiómák és a típuslogikai tárgyalás kapcsolata. A klasszikus analízis alapfogalmai: Folytonosság, differenciálhatóság, integrálhatóság. Az integrál, mint hiper-véges összeg. Alkalmazások a végtelen kombinatorikában, Ramsey elmélet és Ramsey tétel. Optimalizálási problémákkal kapcsolatos alkalmazások. Véletlen struktúrák, 0-1 törvények. Nem-standard mértékelmélet. Loeb mértékek, hiper-véges Loeb terek, a végtelen egyenletes valószínűség eloszlás. A Lebesgue mérték nem- standard bevezetése. Nem-standard mértékek a valószínűség elméletben. A Poisson folyamat és a Brown mozgás nem-standard bevezetése.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 Órákon való részvétel. vizsga-
időszakban		 vizsga
13. Pótlási lehetőségek
A TVSz szerint.
14. Konzultációs lehetőségek
Igény szerint, előre megbeszélt időpontban
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Goldblatt, Robert, Lectures on the Hyperreals, Springer, 1998.
Csirmaz László, Nemsztenderd analízis, Typotex, 1999.
Ferenczi Miklós: Matematikai Logika, Műszaki Kiadó, 2003.
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
28
16.2 Félévközi felkészülés órákra
15
16.3 Felkészülés zárthelyire
0
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
0
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
17
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
0
16.9 Összesen
60
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
60
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Ferenczi Miklós
egyetemi docens
Algebra Tanszék
Dr. Sági Gábor
tudományos munkatárs
Rényi Intézet
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Rónyai Lajos