Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE91AM41
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Csoportok és gyűrűk
2. A tárgy angol címe Groups and rings
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 4 + 0 + 0 v Kredit 4
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE91AM39 Algebra2
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Algebra Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Horváth Erzsébet beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2015.02.16. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2016.04.18.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
absztrakt algebra alapfogalmai
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika (BSc) képzés Elméleti specializáció kötelezően választható tárgya.
11. A tárgy részletes tematikája
Az alternáló csoportok egyszerűsége. Tranzitív csoporthatások, stabilizátor, orbit. Csoport reprezentációja egy részcsoport m ellékosztályain. Alkalmazások. Cauchy-Frobenius-Burnside lemma. Primitív csoporthatás definíciója és jellemzései. Prímfokú permutációcsoportok. Többszörös tranzitivitás. Kommutátor részcsoport, kommutátorlánc, feloldható csoportok. A feloldhatóság öröklőd. Véges feloldható csopor t minimális normálosztója. Nevezetes tételek: Hall-tételek, Feit-Thomson-tétel, Burnside-tétel. A [H,K] kölcsönös kommutátor tulajdonságai. Leszálló és felszálló centrállánc. Nilpotens csoportok. A nilpotencia öröklődése. A nilpotencia ekviavalens feltételei. Baloldali R-modulus, ideál, főideál, euklideszi gyűrű. Modulushomomorfizmus, részmodulus, faktormodulus, modulusok direkt szorzata és direkt összege. Végesen generált modulus. Szabad modulus, rangja. Főideálgyűrű feletti végesen generált szabad modulusok. E uklideszi gyűrű feletti mátrix Smith-normálalakja (elemi osztók tétele). Kínai maradéktétel. Féligegyszerű gyűrű. Jacobson-radikál. Jordan-Hölder tétel. Teljesen reducibilis modulus, ekvivalensei. J(A) ekvivalensei. Wedderburn—Artin-féle struktúratétel. Algebrák, csoportalgebra, Frobenius-tétel. Lie-algebra fogalma, példák. Csoportok reprezentációja csoporthomomorfizmusként és modulusként, reprezentációk hasonlósága. Irreducibilis modulus, Maschke -tétel. Schur- lemma. Komplex karakter, irreducibilis karakter, osztályfüggvény. Irr(G) bázis az osztályfüggvények terében. Reguláris modulus, reguláris reprezentáció, reguláris karakter. Centrálisan primitív idempotens kifejezése a csoportalgebrában. Ortogonalitási relációk. I rr(G) ONB. Karaktertábla. Karakter magja, centruma. G’ a lineáris karakterek magjai metszete. Z(χ) jellemzése. Algebrai egészek összege stb is egész. Centrális karakter. ω(C+) algebrai egész. Burnside tétele. Lie-algebrák reprezentációi, féligegyszerű Lie-algebrák, sl(2,F).
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 Házi feladatok megoldása. vizsga-
időszakban		 írásbeli és szóbeli vizsga
13. Pótlási lehetőségek
TVSZ szerint
14. Konzultációs lehetőségek
igény szerint
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
P.J.Cameron, Introduction to algebra, Oxford Science Publications, 2004
J.J.Rotman, An Introduction to the theory of groups, GTM 148, Springer,1994
I.M.Issacs, Character theory of finite groups, Dover, 1994
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
0
16.3 Felkészülés zárthelyire
0
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
28
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
36
16.9 Összesen
120
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
120
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Horváth Erzsébet
egyetemi docens
Algebra Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Nagy Attila