Középiskolában oktatott matematika törzsanyag.

TTK Matematika (BSc) képzés kötelező alaptárgya.

1. Halmazelméleti alapok. Logikai jelek, igazságtábla, állítások negálása, indirekt bizonyítás, halmazműveletek.

2. Valós számok, komplex számok. Alapműveletek, rendezés, törtrész, Bernoulli-egyenlőtlenség, binomiális tétel, abszolút érték, háromszög-egyenlőtlenség. Teljes indukció, számtani és mértani közép, komplex számok aritmetikája.

3. A számegyenes topológiája. Nyílt, zárt, korlátos halmaz, belső, külső, határpont, halmaz lezártja, belseje, sűrű halmaz, kompakt halmaz, Cantor-féle közösrész-tétel, Borel-Lebesgue tétel (esetleg biz. nélkül).

4. Sorozatok. Határérték. Monoton sorozatok, Részsorozat, torlódási pont. Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel, Bolzano-Weierstrass-tétel. Liminf, limsup. Cauchy kritérium. Nevezetes határértékek.

5. Numerikus sorok. Sor konvergenciája, részletösszeg. Cauchy-kritérium. Majoráns és minoráns, gyök-, hányadoskritérium. Leibniz-sor. Abszolút és feltételes konvergencia. Cauchy-szorzat. Mertens-tétel, Abel-átrendezés. Elemi függvények (exp, log, sin, cos, sh, ch) definíciója, alapvető azonosságok.

6. Valós függvények. Páros, páratlan, monoton, periodikus függvény. Konvex, konkáv függvény, Jensen-egyenlőtlenség. Határérték, féloldali határérték. Folytonosság. Átviteli elv. Folytonos függvények tulajdonságai, topologikus jellemzésük, Bolzano-tétel. Kompakt halmaz folytonos képe kompakt, Weierstrass-féle min-max elv, egyenletes folytonosság, Heine tétele.

7. A differenciálszámítás alapjai. Derivált, kapcsolat a folytonossággal. Összeg, szorzat, hányados, kompozíció deriválása. Lokális szélsőérték, jellemzése deriválással. Középértéktételek: Rolle, Lagrange, Cauchy. L’Hospital-szabály. A derivált Darboux-tulajdonsága. Többszörös differenciálhatóság, Taylor-polinomok, Taylor-sor. Nevezetes Taylor-sorok. Konvex és konkáv függvények, és jellemzésük deriválással. Differenciálható konvex függvény folytonosan differenciálható. Jensen-egyenlőtlenség, közepek közötti egyenlőtlenségek, Cauchy–Schwarz és Hölder-egyenlőtlenség. Függvényvizsgálat.

8. Határozatlan integrál. Definíció, elemi határozatlan integrálok. Parciális és helyettesítéses integrálás. Parciális törtekre bontás, racionális törtfüggvények integrálása, trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása.

9. Határozott (Riemann-) integrál. Felosztás, alsó és felső közelítő összeg, oszcillációs összeg, alsó és felső integrál. Riemann integrálhatóság, integrálható függvények összege, szorzata. Newton–Leibniz-formula. Integrálfüggvény. Folytonos illetve monoton függvény integrálhatósága.

10. Integrál alkalmazásai, improprius integrálás. Ívhossz, terület, forgástest térfogata, forgásfelszín, súlypont. Improprius integrálás, majoráns- és minoránskritérium.

 

1. Set theoretical basis. Logical symbols, truth tables, negation of statements, proof by contradiction, set theoretical operations.

2. Real numbers, complex numbers. Basic arithmetical operations, ordering, fractional parts, Bernoulli inequality, binomial theorem, absolute value,  triangle inequality, mathematical induction, arithmetic of complex numbers, arithmetic-geometric mean inequality.

3. Topology of the real line. Open sets, closed sets, bounded sets, interior, exterior, boundary, closure of a set, dense sets, compact sets, Cantor intersection theorem, Borel-Lebesgue theorem (possibly without proof).

4. Sequences. The notion of limit. Monotone sequences, subsequences, accumulation points, Bolzano–Weierstrass theorems. Liminf, limsup. Cauchy criterion. Limit of specific well-known sequences.

5. Numeric series. Convergence of a series, partial sums, Cauchy criterion. Majorant criterion, ratio criterion, root criterion. Leibniz-type series. Absolute and conditional convergence. Cauchy product. Mertens theorem, Abel rearrangement. Elementary functions (exp, log, sin, cos, sh, ch) and their identities.

6. Real functions. Notion of even, odd monotone, periodic functions. Convex, concave functions, Jensen-inequality. Limits, one-sided limits, continuity, transference principle. Properties of continuous functions: topological characterization, Bolzano theorem. Continuous image of compact set is compact, Weierstrass min-max principle, uniform continuity, Heine theorem.

7. Differentiation. Notion of the derivative, its relation to continuity. Derivative of sums, products, quotients, chain rule. Local maxima and minima, and their connection to derivatives. Mean value theorems: Rolle, Cauchy. L’Hospital rule. Darboux property of the derivative. Higher order derivatives, Taylor polynomials, Taylor series. Specific Taylor series of well-known functions. Convex and concave functions and their connection to second derivatives. Derivative of a convex differentiable function is continuous. Jensen inequality, inequality of various means, Cauchy–Schwarz, Holder inequalities. Plotting functions by analysis of derivatives.

8. Indefinite integrals. Definition, and elementary integrals. Integration by parts, and by substitution. Partial fraction decomposition, integration of rational functions. Integration of trigonometric, hyperbolic functions.

9. Definite (Riemann) integrals. Riemann approximation sums, oscillation sums, upper and lower integral. Riemann integrability of a function, sum and products of integrable functions. Newton–Leibniz formula. The integral function. Continuous or monotonic functions are integrable.

10. Applications of the integral, improper integrals. Arc-length, area. Volume and surface of a body of rotation. Center of gravity. Improper integrals, majorant and minorant criteria.

TVSZ szerint

TVSZ szerint

Peter D. Lax, Maria Shea Terrell, Calculus with applications

Laczkovich Miklós, T. Sós Vera, Analízis I.-II.

Terence Tao, Analysis I.

Thomas féle kalkulus 1

112

28

28

4

30

0

0

68

270

270

Dr. Pitrik József

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Dr. Matolcsi Máté