Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE95AM41
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Sztochasztikus Folyamatok
2. A tárgy angol címe Stochastics Processes
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 5 + 0 + 0 v Kredit 6
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE95AM29 Valószínűségszámítás 1
4.2
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Sztochasztika Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Simon Károly beosztása egyetemi tanár
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2018.05.08 Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2018.07.09.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
haladó valószínűségszámítás, haladó analízis
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTk matematika (BSc) Sztochasztika sávjának kötelkező tárgya.
11. A tárgy részletes tematikája

1. Alapfogalmak: sztochasztikus folyamat, peremeloszlások, Kolmogorov alaptétel, stacionárius, stacionárius növekményű, független növekményű folyamatok, Brown-mozgás, Poisson-folyamat.

2. Véges Markov-láncok: átmenet valószínűségek, sztochasztikus mátrixok lineáris algebrája, félcsoport tulajdonság, hatás előre függvényeken, hatás hátra mértékeken, állapotok osztályozása, irreducibilitás, periódus, P spektruma, konvergencia egyensúlyhoz, spektráslis rés becslése (Doeblin)

3. Megszámlálható Markov-láncok: pozitív és null-rekurrencia, tranziencia, bolyongások Z^d-n: Pólya-tétel, születési-halálozási folyamatok, sorbanállási problémák, elágazó folyamatok

4. 1-dimenziós bolyongás: tükrözési elv és következményei, tranziencia nem-szimmetrikus esetben, gambler’s ruin, differenciaegyenletek.

5. Felújítási folyamatok: felújítási egyenlet, Laplace-transzformáció alkalmazásai, felújítási paradoxon

6. Folytonos idejű Markov-láncok: fenomenologikus leírás, ugrási ráták, független exponenciális órák, átmenet-valószínűségek félcsoportja, Komogorov-Chapman egyenlet, a félcsoport mátrix-analízise, infinitezimális generátor, folytonos idejű Markov-láncok megszámlálható állapottéren

7. Mértékelméleti kiegészítések: filtrációk, sztochasztikus folyamat természetes filtrációja, feltételes várhatóérték,

8. Martingálok: filtráció, adaptált folyamat, szub-/szuper-/martingál, megállási idők,  opcionális megállási tétel (Doob), diszkrét sztochasztikus integrálás, martingál konvergencia tétel (Doob), maximális egyenlőtlenség (Doob), Höffding-Azuma egyenlőtlenség, iterált logaritmus tétel

9. Brown-mozgás, Wiener folyamat: fenomenologikus leírás, alaptulajdonságok, Wiener-féle konstrukció vázlata, Paul Lévy és Ciesielski-de Feriet féle konstrukció, skála, önhasonlóság, iterált logaritmus tétel, időinverzió, nem-differenciálhatóság, kapcsolat a hőegyenlettel.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 házi feladatok heti rendszerességgel, ház feladat ellenőrző dolgozatok 6-szor a szemeszterben. vizsga-
időszakban		 vizsga
13. Pótlási lehetőségek
be nem nyújtott házifeladatok utólag NEM pótolhatók, pót ZH lehetőség a félév végén, gyak IV a vizsgaidőszak elején
14. Konzultációs lehetőségek
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Essentials of Stochastic Processes (2nd edition, Springer 2012),
Richard Durrett: Probability Theory with Examples. (4th edition, Cambridge U. Press, 2010)
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó 1972
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
70
16.2 Félévközi felkészülés órákra
12
16.3 Felkészülés zárthelyire
22
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
56
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
20
16.9 Összesen
180
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
180
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Simon Károly
egyetemi tanár
Sztochasztika Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Simon Károly