Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Bevezetés a sztochasztikus analízisbe
2. A tárgy angol címe Introduction to Stochastic Analysis
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 3 + 1 + 0 v Kredit 5
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE95AM41 Stochastic Proceses
4.2 BMETE95AM33 Tools of Modern Probability
4.3
5. Kizáró tantárgyak
BMETE95MM41
6. A tantárgy felelős tanszéke Sztochasztika Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Ráth Balázs beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2020.10.19. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2020.10.19.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
valószínűségszámítás, analízis
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematikus és Alkalmazott matematikus MSc képzések kötelezően választható tárgya
11. A tárgy részletes tematikája

1) Martingálok, diszkrét sztochasztikus integrál, opcionális megállítási tétel, diszkrét Doob-dekompozíció.
2) Többváltozós normális eloszlás, Gauss-folyamat, Brown-mozgás Paul Lévy-féle konstrukciója.
3) Brown-mozgásból származtatott martingálok, Brown mozgás tulajdonságai, sehol sem differenciálhatósága.
4) Stieltjes integrál, kvadratikus variáció (pl. Brown mozgásé), kölcsönös variáció.
5) Erős Markov tulajdonság, tükrözési elv Brown-mozgásra.
6) Ito integrál definíciója (Brown mozgás szerint), determinisztikus integrandus esete (Gauss-folyamat), Ito integrál martingál-tulajdonsága, kvadratikus variációja.
7) Ito folyamat definíciója, Ito formula (Brown-mozgás szerinti integrálra).
8) Ito folymat szerinti sztochasztikus integrál, Ito formula Ito folyamatokra.
9) Sztochasztikus parciális integrálás, Időfüggő Ito formula, többváltozós Ito formula.
10) harmonikus függvények és martingálok kapcsolata.
11) Brown-mozgás Paul Lévy-féle karakterizációja.
12) Martingál reprezentációs tétel.
13) Sztochasztikus differenciálegyenlet erős megoldásának létezése és egyértelműsége.
14) Híres sztochasztikus differenciálegyenletek (SDE): O-U folyamat, Geometriai Brown-mozgás, Brown-híd.
15) Bessel-folyamat ekvivalens definíciói és tulajdonságai, négyzetes Bessel folyamat és elágazó folyamatok kapcsolata.
16) Sztochasztikus exponenciális, sztochasztikus logaritmus.
17) Általános lineáris SDE, sztochasztikus logisztikus egyenlet, CIR folyamat.
18) Diffúziós folyamat infinitezimális generátora, Dynkin formula.
19) SDE gyenge megoldása, Tanaka ellenpéldája, Tanaka formula.
20) Diffúziók és kapcsolódó elliptikus PDE-k (Laplace, Poisson, Helmholtz).
21) Diffúziók és kapcsolódó parabolikus PDE-k (hőegyenlet, Kolmogorov előre/hátra, Feynman-Kac formula).
22) 1-dimenziós diffúziós folyamat stacionárius eloszlása.
23) Mértékcsere, Girsanov formula.

– H-H. Kuo, Introduction to Stochastic Integration, Springer, 2008.
– F.C. Klebaner, Introduction to stochastic calculus with applications, (Third edition) Imperial College Press, 2012.
– Durrett, Richard. Stochastic calculus: a practical introduction. Vol. 6. CRC press, 1996.

 

1) Martingales, discrete stochastic integral, optional stopping theorem, discrete Doob decomposition.
2) Multivariate normal distribution, Gaussian process, Paul Lévy's construction of Brownian motion.
3) Martingales derived from Brownian motion, properties of Brownian motion, B.M. is nowhere differentiable.
4) Stieltjes integral, quadratic variation (e.g. of Brownian motion), mutual variation.
5) Strong Markov property, reflection principle for Brownian motion.
6) Definition of Ito integral (w.r.t. Brownian motion), case of deterministic integrand (Gaussian process), martingale property of Ito integral, quadratic variation of Ito integral.
7) Def of Ito process, Ito formula (in the case when we integrate w.r.t. B.M.)
8) Stochastic integral w.r.t. Ito process, Ito formula for Ito processes.
9) Stochastic integration by parts, time-dependent Ito formula, multivariate Ito formula.
10) Harmonic functions and martingales.
11) Paul Lévy's characterization of B.M.
12) Martingale representation theorem.
13) Existence and uniqueness of strong solution of stochastic differential equation.
14) Famous stochastic differential equations (SDEs): O-U process, Geometric Brownian motion, Brownian bridge.
15) Equivalent definitions and properties of Besssel process, relation of squared Bessel process and branching processes.
16) Stochastic exponential and stochastic logarithm.
17) General linear SDE, stochastic logistic equation, CIR process.
18) Infinitesimal generator of diffusion process, Dynkin's formula.
19) Weak solution of SDE, Tanaka's counterexample, Tanaka's formula.
20) Diffusions and related elliptic PDE's (Laplace, Poisson, Helmholtz).
21) Diffusions and related parabolic PDE's (heat equation, Kolmogorov forward/backward, Feynman-Kac formula).
22) Stationary distribution of 1-dimensional diffusion process.
23) Change of measure, Girsanov's formula.

– H-H. Kuo, Introduction to Stochastic Integration, Springer, 2008.
– F.C. Klebaner, Introduction to stochastic calculus with applications, (Third edition) Imperial College Press, 2012.
– Durrett, Richard. Stochastic calculus: a practical introduction. Vol. 6. CRC press, 1996.

 

 

12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban
két zárthelyi dolgozat, 12 házi feladat vizsga-
időszakban
vizsga
13. Pótlási lehetőségek
pót-ZH, pót-HF a TVSZ szerint
14. Konzultációs lehetőségek
fogadóóra
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
előadó szkennelt jegyzete
H-H. Kuo, Introduction to Stochastic Integration, Springer, 2008.
F.C. Klebaner, Introduction to stochastic calculus with applications, (Third edition) Imperial College Press, 2012.
Durrett, Richard. Stochastic calculus: a practical introduction. Vol. 6. CRC press, 1996.
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
56
16.2 Félévközi felkészülés órákra
0
16.3 Felkészülés zárthelyire
20
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
40
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
30
16.9 Összesen
146
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
150
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Ráth Balázs
egyetemi docens
BME TTK Matematika Intézet, Sztochasztika tsz
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Simon Károly