Analízis 1 (BMETE92AM38)

egyváltozós differenciál- és integrálszámítás

TTK Matematika (BSc) képzés kötelező alaptárgya.

Komplex függvénytan. Holomorf, reguláris és harmonikus függvény, Cauchy–Riemann-egyenletek. Szakaszonként folytonosan differenciálható görbe, komplex vonalintegrál. Görbe pontra vonatkozó indexe, az indexfüggvény tulajdonságai. Primitív függvény tartományon. Goursat-lemma. Cauchy-integráltétel, Cauchy-integrálformulák. Taylor-sorfejtés, konvergenciasugár. Liouville-tétel. Az algebra alaptétele. Maximum-elv. Szingularitások osztályozása. Laurent-sorfejtés. Residuum-tétel, argumentum-elv, Rouché-tétel. Valós integrálok kiszámítása komplex függvénytani eszközökkel.

Metrikus és normált terek. Metrikus tér definíciója (speciálisan: normált tér definíciója és norma által indukált metrika), példák. Gömb, környezet, topológiai alapok. Kompakt halmazok, Cantor-féle közösrész-tétel. Sorozatok metrikus térben, zárt halmazok jellemzése sorozatokkal. Cauchy-sorozatok, teljesség (speciálisan: Banach-tér definíciója). Bolzano–Weierstrass tétel (kompakt halmaz sorozatokkal való jellemzése), metrikus tér teljessé tétele (biz. nélkül). Ívszerűen összefüggő és összefüggő halmazok metrikus (és normált) terekben. Metrikus terek között ható függvények határértéke, folytonossága. Folytonos függvények és kompakt halmazok tételei: kompakt folytonos képe kompakt, Weierstrass min-max tétel, inverzfüggvény folytonossága, Heine tétele az egyenletes folytonosságról. Lipschitz-folytonosság, kontrakció, Banach-féle fixpont tétel. 

Normált tér, Banach-tér és korlátos lineáris operátorok. Normák ekvivalenciája véges dimenziós téren (speciálisan: p-normák n-dimenzióban). Sorok normált terekben, abszolút konvergencia. Normált terek között ható lineáris leképezések folytonossága, korlátossága, operátornorma. Carl–Neumann-sor. Diagonalizálható lineáris leképezés függvényei. Normált terek között ható függvények differenciálhatósága, példák. Approximáció Bernstein-polinomokkal. A Stone-tétel és a Stone–Weierstrass-tétel.

Hilbert-terek. Skaláris szorzás által indukált norma. Hilbert-tér ortogonális felbontási tétele zárt altér szerint. Ortogonális projekció. Riesz-féle reprezentáció funkcionálokra. Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-azonosság.

 

Theory of complex functions. Holomorphic functions, harmonic functions, Cauchy–Riemann equations. Piecewise continuously differentiable curves, complex path integrals. Index of a curve with respect to a point, properties of the index function. Primitive function on a domain. Goursat lemma. Cauchy’s integral theorem, Cauchy integral formulas. Taylor series expansion, radius of convergence, Liouville theorem. The fundamental theorem of algebra. Maximum principle, principle of argument, Rouche theorem. Evaluation of real integrals by complex function theory.

Metric spaces, normed spaces. Definition of metric spaces (in particular: definition of normed spaces and the induced metric), examples. Ball, neighbourhood, basic topological notions. Compact sets, Cantor intersection theorem. Sequences in metric spaces, characterization of closed sets with sequences. Cauchy sequences, complete metric spaces (in particular: Banach spaces). Bolzano–Weierstrass theorem (characterization of compact sets with sequences), completion of metric spaces (without proof). Connected and  path-connected sets in metric and normed spaces. Functions between metric spaces: limits, continuity. Properties of continuous functions on compact sets: continuous image of a compact set is compact, Weierstrass min-max theorem, continuity of the inverse, Heine theorem on uniform continuity. Lipschitz continuity, contraction. Banach fixpoint theorem.

Normed spaces, Banach spaces, bounded linear operators. Equivalence of norms in finite dimension (specifically: p-norms in Rⁿ). Series in normed spaces, absolute convergence. Continuity and boundedness of linear operators between normed spaces, operator norm. Carl–Neumann series. Diagonalizable operators and their functions. Differentiability of functions between normed spaces, examples. Approximation with Bernstein polynomials. Stone theorem, Stone-Weierstrass theorem.

Hilbert spaces. Scalar products, and the induced norm. Orthogonal decomposition of Hilbert spaces by a closed subspace. Orthogonal projection. Riesz representation of bounded functionals. Bessel inequality, Parseval identity.

 

TVSZ szerint

TVSZ szerint

Szőkefalvi-Nagy Béla: Komplex függvénytan

Terence Tao, Analysis II.

Kolmogorov-Fomin: A függvényelmélet és funkcionálanalízis elemei

70

20

20

4

60

0

0

50

224

210

Dr. Pitrik József

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Dr. Matolcsi Máté