Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Természettudományi Kar |
Tantárgy Adatlap |
Tantárgy kód | BMETE92AM56 |
Tantárgy azonosító adatok | |||||||||
1. | A tárgy címe | Analízis 2 | |||||||
2. | A tárgy angol címe | Analysis 2 |
3. | Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa | 2 | + | 2 | + | 0 | v | Kredit | 5 |
4. | Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend | ||||||||
vagy | Tantárgy kód 1 | Rövid cím 1 | Tantárgy kód 2 | Rövid cím 2 | Tantárgy kód 3 | Rövid cím 3 | |||
4.1 | BMETE92AM55 | Analízis 1 | |||||||
4.2 | BMETE92AM38 | Analízis 1 | |||||||
4.3 | |||||||||
5. | Kizáró tantárgyak | ||||||||
Analízis 2 (BMETE92AM39) |
|||||||||
6. | A tantárgy felelős tanszéke | Analízis Tanszék | |||||||
7. | A tantárgy felelős oktatója | Dr. Andai Attila | beosztása | egyetemi docens |
Akkreditációs adatok | ||||
8. | Akkreditációra benyújtás időpontja | 2021.04.30. | Akkreditációs bizottság döntési időpontja | 2021.05.12 |
Tematika | |||||||||
9. | A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít | ||||||||
egyváltozós differenciál- és integrálszámítás, metrikus terek |
|||||||||
10. | A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható) | ||||||||
TTK Matematika (BSc) képzés szakirányain kötelező tárgy. |
|||||||||
11. | A tárgy részletes tematikája | ||||||||
Mérték és mérhetőség. Szigma-algebra és mérték definíciója, mérhető tér, mértéktér. Halmazrendszer által generált szigma-algebra. Külső mérték, Caratheodory tétele. Lebesgue-mérték, Lebesgue–Stieltjes-mérték. Véges, szigma-véges valószínűségi mérték. Teljes mérték. Mérhető függvény, mérhető függvények összege, szorzata, maximuma, minimuma, reciproka, mérhető függvények sorozatának limesze. Metrikus tér Borel-halmazai, Borel-mérhetőség. Lebesgue-mérhetőség. Nem mérhető halmaz létezése. Integrálás mértéktérben. Definíció, alaptulajdonságok. Függvénysorozat és integrálás felcserélhetősége: Beppo–Levi-tétel, Fatou-lemma, Lebesgue dominált konvergencia-tétele. A számegyenesen: Newton–Leibniz formula, parciális integrálás, helyettesítéses integrálás Lebesgue(-Stieltjes) mérték szerint. Mértékterek szorzata, Fubini tétel. Paraméteres integrálok. Lp-terek tulajdonságai, Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenség. Konvolúció. Fourier-sorfejtés. Integrálható függvény Fourier-együtthatóinak konvergenciája. Fourier-sor részletösszegei, Dirichlet-magfüggvény. Dirichlet tétele integrálható függvény Fourier-sorának konvergenciájáról. Cesáro-összegezhető sorok. Fejér tétele folytonos függvény Fourier-soráról, Fejér-mag. Fourier-transzformáció. Schwartz-tér, Fourier-transzformáció a Schwartz-térben, az L1 és az L2 terekben.
Measures and measurability. Sigma algebras, definition of measure, measurable space, measure space. Sigma algebra generated by a set system. Outer measures, Caratheodory extension theorem. Lebesgue measure, Lebesgue-Stieltjes measures. Finite, sigma-finite, and probability measures. Complete measures. Measurable functions, and their sum, product, maximum, minimum, reciprocal, and limit of sequences. Borel sets of metric spaces, Borel measurability, Lebesgue measurability. Existence of non-Lebesgue-measurable sets. Integration in measure spaces. Definition and basic properties of the integral. Interchanging the limit and integration: Beppo–Levi theorem, Fatou-lemma, Lebesgue dominated convergence theorem. Integration with respect to Lebesgue–Stieltjes measures, integration by parts, integration by substitution, Newton–Leibniz formula. Product of measure spaces, Fubini theorem. Parametric integrals. Lp spcaes, basic properties, Holder and Minkowski inequalities. Convolution. Fourier series. Convergence of the Fourier coefficients of integrable functions. Partial sums of Fourier series, Dirichlet kernel. Dirichlet theorem on the convergence of Fourier series of integrable functions. Cesaro-summable series. Fejer theorem for the Fourier series of continuous functions, Fejer kernel. Fourier transform. Schwartz space, Fourier transform on the Schwartz space, on L1 and L2. |
|||||||||
12. | Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja | ||||||||
szorgalmi időszakban |
Házi feladatok megoldása, zárthelyik és röpzh-k teljesítése, órákon való részvétel. | vizsga- időszakban |
vizsgajegy a szóbeli és írásbeli vizsga és a félévközi teljesítmény alapján | ||||||
13. | Pótlási lehetőségek | ||||||||
TVSZ szerint |
|||||||||
14. | Konzultációs lehetőségek | ||||||||
TVSZ szerint |
|||||||||
15. | Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom | ||||||||
Járai Antal: Mérték és integrál |
|||||||||
W. Rudin: Real and complex analysis |
|||||||||
16. | A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva) | ||||||||
16.1 | Kontakt óra | 56 |
|||||||
16.2 | Félévközi felkészülés órákra | 10 |
|||||||
16.3 | Felkészülés zárthelyire | 10 |
|||||||
16.4 | Zárthelyik megírása | 4 |
|||||||
16.5 | Házi feladat elkészítése | 35 |
|||||||
16.6 | Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló) | 0 |
|||||||
16.7 | Egyéb elfoglaltság | 0 |
|||||||
16.8 | Vizsgafelkészülés | 35 |
|||||||
16.9 | Összesen | 150 |
|||||||
17. | Ellenőrző adat | Kredit * 30 | 150 |
A tárgy tematikáját kidolgozta | |||||||||
18. | Név | beosztás | Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.) | ||||||
Dr. Pitrik József |
egyetemi docens |
Analízis Tanszék |
|||||||
A tanszékvezető | |||||||||
19. | Neve | aláírása | |||||||
Dr. Matolcsi Máté |