Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Természettudományi Kar		 Tantárgy Adatlap
Tantárgy kód BMETE91AM59
Tantárgy azonosító adatok
1. A tárgy címe Számelmélet
2. A tárgy angol címe Number Theory
3. Heti óraszámok (ea + gy + lab) és a félévvégi követelmény típusa 2 + 0 + 0 v Kredit 2
4. Ajánlott/kötelező előtanulmányi rend
vagy Tantárgy kód 1 Rövid cím 1 Tantárgy kód 2 Rövid cím 2 Tantárgy kód 3 Rövid cím 3
4.1 BMETE91AM36 Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AM36 Kalkulus 1
4.2 BMETE90AX00 Matematika A1a-Analízis BMETE90AX00 Matematika A1a-Analízis
4.3
5. Kizáró tantárgyak
6. A tantárgy felelős tanszéke Algebra Tanszék
7. A tantárgy felelős oktatója Dr. Kiss Sándor beosztása egyetemi docens
Akkreditációs adatok
8. Akkreditációra benyújtás időpontja 2022.05.02. Akkreditációs bizottság döntési időpontja 2022.05.16.
Tematika
9. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít
komplex számok, polinomok, egyváltozós valós analízis
10. A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában (szak, kötelező, kötelezően választható, szabadon választható)
TTK Matematika BSc szak kötelezően választható tárgya
11. A tárgy részletes tematikája

A számelmélet alapfogalmai: oszthatóság, legnagyobb közös osztó, euklideszi algoritmus, kongruenciák, kínai maradéktétel, Hensel-felemelés, primitív gyök, diszkrét logaritmus, kvadratikus maradék, Legendre és Jacobi-jel, kvadratikus reciprocitási tétel.

Analitikus számelmélet: prímszámok és tulajdonságaik, speciális alakú prímek, prímszámok számtani sorozatokban, szomszédos prímek közötti hézag, Csebisev-tétel, Prímszámtétel. A Riemann-féle zeta függvény, Riemann-sejtés, Dirichlet-karakterek. A generátorfüggvény és alkalmazásai, partíciók. Szita-módszerek, a Brun-szita alkalmazása ikerprímek számának becslésére, Goldbach-sejtés.Additív és multiplikatív számelméleti függvények. Additív számelmélet: Összeghalmazok, direkt és inverz problémák. Összeg-szorzat becslések. A polinom-módszer, kombinatorikus nullhelytétel és alkalmazásai.
 
Kombinatorikus számelmélet: Schnirelman-sűrűség, A Ramsey-elmélet alkalmazása a számelméletben: Schur-tétel, van der Waerden-tétel, Szemerédi tétele számtani sorozatokról.
 
Diofantikus egyenletek: négyzetszámok és k-dik hatványok összegeként történő előállítások, Waring-probléma.  A nagy Fermat-tétel, Mordell-egyenlet. Az abc-sejtés.

Kitekintés (vázlatosan): Diofantikus approximáció elmélet: Lánctörtek, Pell-egyenletek, Wiener-támadás az RSA ellen. A számelmélet kriptográfiai alkalmazásai: RSA, ElGamal titkosítási rendszerek. Prímtesztelés. p-adikus számok.

Basic Number Theory: Divisibility, greatest common divisor, Euclid's algorithm, congruences, Chinese remainder theorem, Hensel lifting, primitive roots, discrete logarithm, quadratic residues, Legendre and Jacobi symbol. Law of quadratic reciprocity.

Analytic Number Theory: Prime numbers and its properties, primes of special forms. Primes in arithmetic progressions, gaps between primes, Bertrand's postulate, the Prime Number Theorem. The Riemann zeta function, Riemann Hypothesis, Dirichlet characters. The generating function and its applications, partitions. Sieve methods, application of Brun's sieve to estimate the number of  twin primes, Goldbach's conjecture. Additive and multiplicative arithmetic functions. Additive Number Theory: Sumsets, direct and inverse problems. Sum-product estimates.

Combinatorial Number Theory: Schnirelman density, Schur's theorem,  van der Waerden's theorem, Szemerédi's theorem about arithmetic progressions. Zero-sum combinatorics: the polynomial method, Combinatorial Nullstellensatz, applications.

Diophantine equations: sum of two, three, four squares, representations as the sums of k-th powers, Waring problem.  Fermat's last theorem.  Mordell equation. The abc conjecture.

Miscellaneous modern topics (sketch only): Number Theory in Cryptography: The RSA and the ElGamal scheme. Primality tests. Diophantine Approximation Theory: Continued fractions. Pell equation. Wiener attack against RSA. p-adic numbers.
12. Követelmények, az osztályzat (aláírás) kialakításának módja
szorgalmi
időszakban		 vizsga-
időszakban		 vizsga
13. Pótlási lehetőségek
14. Konzultációs lehetőségek
igény szerint
15. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom
Freud-Gyarmati: Number Theory
Erdős-Surányi: Topics in Number Theory
David M. Burton: Elementary Number Theory
16. A tantárgy elvégzéséhez átlagosan szükséges tanulmányi munka mennyisége órákban (a teljes szemeszterre számítva)
16.1 Kontakt óra
28
16.2 Félévközi felkészülés órákra
7
16.3 Felkészülés zárthelyire
0
16.4 Zárthelyik megírása
0
16.5 Házi feladat elkészítése
0
16.6 Kijelölt írásos tananyag elsajátítása (beszámoló)
0
16.7 Egyéb elfoglaltság
0
16.8 Vizsgafelkészülés
25
16.9 Összesen
60
17. Ellenőrző adat Kredit * 30
60
A tárgy tematikáját kidolgozta
18. Név beosztás Munkahely (tanszék, kutatóintézet, stb.)
Dr. Kiss Sándor
egyetemi docens
Algebra Tanszék
A tanszékvezető
19. Neve aláírása
Dr. Nagy Gábor Péter