A Brown [1] és Zak[2,3] által leírt mágneses transzlációs csoport részletes betekintést nyújt a kvantum-Hall effektus fizikájába.  A mágneses transzlációs csoport előírja, hogy az ilyen fizikai rendszerek csak bizonyos alakú hullámfüggvényekkel (ún. mágneses Bloch-függvényekkel) írhatók le.  A topologikus fizika témakört beindító első topológiai invariáns, a TKNN-invariáns[4], amely a kvantum-Hall effektus kvantált természetét fejezi ki.  A TKNN-invariáns a mágneses transzlációs csoport fogalomra épül, a Hall vezetőképességet leíró invariáns egy olyan Kubo formula, amelyben az áram-áram korrelációs függvény számolása mágneses Bloch-függvények esetére történik.   A mágneses transzlációs csoportot később Ashby és Miller[5] fejlesztette tovább, ők olyan rendszerekre általánosították ezt a fogalmat, amelyben a homogén mágneses téren kívül egy homogén elektromos tér is jelen van.

A szigetelő anyagok az elektromos tér hatására megváltoztatják a polarizációjukat.  Szilárd anyagok esetében a tömbpolarizáció leírása nem triviális, a polarizáció ez esetben egy Berry-Zak[6,7] féle geometriai fázis.  Ez a modern polarizáció elmélet [8,9] fő állítása.  E tézis egyik célja, hogy elvi alapon megvizsgálja a kapcsolatot az elektromos-mágneses transzlációs csoport és a modern polarizáció elmélet leírások között.  Itt a vizsgálat célja, hogy az Ashby-Miller féle csoport irreducibilis ábrázolásaiból követekző szabályok milyen kikötéseket szabnak a kristályok polarizációjának esetében.

További cél, a modern polarizáció elmélet módszereinek kiterjesztése a kvantum-Hall rendszerek esetére.  A modern polarizáció elmélet az egyik transzláció operátor (lendület-eltolás operátor) használatára alapszik.  A kvantum Hall esetben nyilvánvaló, hogy fontos szerepet játszik a lendület-eltolás operátoron kívül a pozíció-eltolás operátor is, és a fizikai effektus leírása a két transzláció operátor együttes felhasználásával kell, hogy történjen.  A dolgozat eme része alkalmazott jellegű, itt a polarizáció és az áram mennyiségek kiszámolása a cél két dimeziós rácsmodellek esetén, amelyek homogén mágneses és/vagy elektromos tér alatt vannak.

[1]  E. Brown, Phys. Rev. 133 A1038 (1964).

[2]  J. Zak, Phys. Rev., 134 A1602 (1964).

[3]  J. Zak, Phys. Rev. 134 A1607 (1964).

[4]  D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale and M. den Nijs, Phys. Rev. Lett., 49 405 (1982).

[5]  N. Ashby and S. C. Miller, Phys. Rev., 139 A428 (1965).

[6] M. V. Berry, Proc. Roy. Soc. London A392, 45-57 (1984).

[7] J. Zak, Phys. Rev. Lett., 62 2747 (1988).

[8] R. D. King-Smith and D. Vanderbilt, Phys. Rev. B, 47 1651 (1992).

[9] R. Resta, J. Phys.: Condens. Mat., 12 R107 (2000).