1. Lineáris terek (lineáris leképezések, algebrai duális, lineáris leképezések mátrixa). 2. Lináris terek tenzorszorzata (szi mmetrikus és antiszimmetrikus tenzorszorzat, bázisok, determináns). 3. Normált terek (példák, Hölder és Minkowski-egyenlőtlenségek, lineáris leképezések
folytonossága és korlátossága, operátor normája). 4. Banach-terek (abszolút konvergens sorok konvergenciája és átrendezhetősége, az exponenciális függvény, Neumann-sor). 5. Nevezetes tételek Banach terekben (nyílt leképezés tétele, egyenletes korlátosság tétele, alkalmazás Fourier-sorokra). 6. Duális tér (elpé terek duálisa, Hahn-Banach-tétel, a folytonos függvények terének duálisa). 7. Hilbert-tér (bázis szerinti kifejtés,
Riesz lemma, projekció tétel, Riesz-féle reprezentációs tétel). 8. Speciális függvények (Hermite-, és Legendre-polinomok, sorfejtések). 9. Hilbert-
terek és lineáris operátorok tenzorszorzata (az algebrai tenzorszorzat és Hilbert-terek tenzorszorzata közötti különbség, L2-terek tenzorszorzata , elemi tenzor normája). 10. Az adjungált (korlátos operátor adjungáltja, önadjungált operátorok, unitér operátorok és projekc iók, példák). 11. Topológiák (gyenge topológia a Hilbert-téren, operátorok ponkénti és pontonkénti gyenge konvergenciája, önadjungált operátorok monoton sorozata, unitérek topologikus csoportja). 12. Korlátos operátor spektruma (a spektrum osztályozása, spektrál sugár, rezolv ens, spektrum nem üres zárt halmaz állitás bizonyítása.). 13. Kompakt operátorok (a kompakt operátorok ideálja, Hilbert-Schmidt-féle integráloperátor, Green- függvény, Riesz-Schauder tétel). 14. A Fourier-transzformáció (az L1-téren, kiterjesztés az L2-tér unitér operátorává, spektruma, a Fourier- transzformált differenciálhatósága, a Schwartz-tér és topológiája, duálisa, disztribuciók). 15 Nemkorlátos operátorok (az adjungált és szimmetrikus operátorok, a Laplace-operátor, példák). 16. A spektráltétel 17. Egy-paraméteres unitér csoportok.