A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:
egyváltozós differenciál- és integrálszámítás, metrikus terek
A tantárgy szerepe a képzés céljának megvalósításában:
TTK Matematika (BSc) képzés szakirányain kötelező tárgy.
A tantárgy részletes tematikája magyarul és angolul:
Szigma-gyűrűk és algebrák. Halmazfüggvények. Lebesgue-mérték felépítése. Külső mérték. Mérhető halmazok. Külső mérték által definiált mérték, mérték által definiált külső mérték. Nem Lebesgue-mérhető halmaz konstrukciója. Mérhető tér, mértéktér. Mérhető függvények. Mértékben való
konvergencia, kapcsolata a mm. konvergenciával. Mérhető függvény integrálja. Beppo-Levi tétel, Fatou-lemma, Lebesgue-féle majorált konvergencia tétel. Az integrál szigma-additivitása. L_p-terek, Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenség. Az integrál abszolút folytonossága. Riemann- gömb. Komplex sorozatok határértéke és tulajdonságai. Komplex függvények határértéke, folytonossága. Többrétű és többértékű függvények és
relációk. Elemi fügvények hatványsorelőállítása. Euler-formula. Komplex logaritmus függvény. Komplex differenciálhatóság. Cauchy-Riemann
egyenletek. Regularitás és elemi következményei. Reguláris és harmonikus függvények, harmonikus társ.Komplex vonalintegrál, helyettesítéses integrál. Newton- Leibniz formula komplex változóban. Goursat-lemma, általánosított Goursat-lemma. Cauchy integráltétel és integrálformula konvex tartományon. Görbe indexe. Egyszeresen összefüggő tartomány. Cauchy integráltétel és integrálformula egyszeresen összefüggő és általános tartományon. Primitív függvény. Morera-tétel. Reguláris függvény hatványsorba fejtése. Liouville tétel, algebra alaptétele. Gyök multiplicitása. Unicitási tétel. Laurent-sor. Izolált szingularitások osztályozása, jellemzésük a függvény viselkedésével illetve Laurent-sorával. Residuum, residuum-tétel. Pólus residuumának kiszámítása. Logaritmikus residuum, argumentum-elv. Rouché-tétel. Nyílt leképezés tétele. Maximumelv, minimumelv.
Követelmények szorgalmi időszakban:
Házi feladatok megoldása, zárthelyik teljesítése, órákon való részvétel.
Követelmények vizsgaidőszakban:
vizsgajegy a szóbeli és írásbeli vizsga és a félévközi teljesítmény alapján
Konzultációs lehetőségek:
Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:
Járai Antal: Mérték és integrál
Szőkefalvi-Nagy Béla: Komplex függvénytan
W. Rudin : Real and complex analysis
Nyomtatóbarát változat
