Halmazelméleti alapok: logikai jelek, igazságtábla, állítások negálása, indirekt bizonyítás, halmazműveletek. Valós számok, komplex számok: alapműveletek, rendezés, törtrész, Bernoulli egyenlőtlenség, binomiális tétel, abszolút érték, háromszög-egyenlőtlenség. Teljes indukció, számtani és mértani közép, komplex számok aritmetikája. A számegyenes topológiája: nyílt, zárt, korlátos halmaz, belső, külső, határpont, halmaz lezártja, belseje, sűrű halmaz, kompakt halmaz, Cantor-féle közösrész-tétel, Borel-Lebesgue tétel (esetleg biz. nélkül). Sorozatok: határérték. Monoton sorozatok, Részsorozat, torlódási pont. Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel, Bolzano-Weierstrass tétel. Liminf, limsup. Cauchy kritérium. Nevezetes határértékek. Numerikus sorok: Sor konvergenciája, részletösszeg. Cauchy-kritérium. Majoráns és minoráns, gyök-, hányadoskritérium. Leibniz-sor. Abszolút és feltételes konvergencia. Cauchy-szorzat. Mertens tétel, Abel-átrendezés. Elemi függvények (exp, log, sin, cos, sh, ch) definíciója, alapvető azonosságok
Valós függvények: páros, páratlan, monoton, periodikus függvény. Konvex, konkáv függvény, Jensen-egyenlőtlenség. Határérték, féloldali határérték. Folytonosság. Átviteli elv. Folytonos függvények tulajdonságai, topologikus jellemzésük, Bolzano tétel. Kompakt halmaz folytonos képe kompakt, Weierstrass-féle min-max elv, egyenletes folytonosság, Heine tétele. A differenciálszámítás alapjai: Derivált, kapcsolat a folytonossággal. Összeg, szorzat, hányados, kompozíció deriválása. Lokális szélsőérték, jellemzése deriválással. Középértéktételek: Rolle, Lagrange, Cauchy. L’Hospital-szabály. A derivált Darboux-tulajdonsága. Többszörös differenciálhatóság, Taylor-polinomok, Taylor-sor. Nevezetes Taylor sorok. Konvex és konkáv függvények, és jellemzésük deriválással. Differenciálható konvex függvény folytonosan differenciálható. Jensen egyenlőtlenség, közepek közötti egyenlőtlenségek, Cauchy-Schwarz és Hölder-egyenlőtlenség. Függvényvizsgálat. Határozatlan integral: definíció, elemi határozatlan integrálok. Parciális és helyettesítéses integrálás. Parciális törtekre bontás, racionális törtfüggvények integrálása, trigonometrikus és hiperbolikus függvények integrálása. Határozott (Riemann-) integrál: felosztás, alsó és felső közelítő összeg, oszcillációs összeg, alsó és felső integrál. Riemann integrálhatóság, integrálható függvények összege, szorzata. Newton-Leibniz formula. Integrálfüggvény. Folytonos illetve monoton függvény integrálhatósága. Integrál alkalmazásai, improprius integrálás: ívhossz, terület, forgástest térfogata, forgásfelszín, súlypont. Improprius integrálás, majoráns- és minoránskritérium.
Set theoretical basis: logical symbols, truth tables, negation of statements, proof by contradiction, set theoretical operations. Real numbers, complex numbers: basic arithmetical operations, ordering, frac-tional parts, Bernoulli inequality, binomial theorem, absolute value, triangle inequality, mathematical induction, arithmetic of complex numbers, arithmetic-geometric mean inequality. Topology of the real line: open sets, closed sets, bounded sets, interior, exterior, boundary, closure of a set, dense sets, com-pact sets, Cantor intersection theorem, Borel-Lebesgue theorem (possibly without proof). Sequences: the notion of limit. Monotone sequences, subsequences, accumulation points, Bolzano-Weierstrass the-orems. Liminf, limsup. Cauchy criterion. Limit of specific well-known sequences. Numeric series: con-vergence of a series, partial sums, Cauchy criterion. Majorant criterion, ratio criterion, root criterion. Leibniz-type series. Absolute and conditional convergence. Cauchy product. Mertens theorem, Abel rearrangement. Elementary functions (exp, log, sin, cos, sh, ch) and their identities.
Real functions: Notion of even, odd monotone, periodic functions. Convex, concave functions, Jensen-inequality. Limits, one-sided limits, continuity, transference principle. Properties of continuous functi-ons: topological characterization, Bolzano theorem. Continuous image of compact set is compact, Weierstrass min-max principle, uniform continuity, Heine theorem. Differentiation: notion of the derivative, its relation to continuity. Derivative of sums, products, quotients, chain rule. Local maxima and minima, and their connection to derivatives. Mean value theorems: Rolle, Cauchy. L’Hospital rule. Darboux property of the derivative. Higher order derivatives, Taylor polynomials, Taylor series. Spe-cific Taylor series of well-known functions. Convex and concave functions and their connection to second derivatives. Derivative of a convex differentiable function is continuous. Jensen inequality, inequality of various means, Cauchy-Schwarz, Holder inequalities. Plotting functions by analysis of derivatives.
Indefinite integrals: definition, and elementary integrals. Integration by parts, and by substitution. Partial fraction decomposition, integration of rational functions. Integration of trigonometric, hyper-bolic functions. Definite (Riemann) integrals: Riemann approximation sums, oscillation sums, upper and lower integral. Riemann integrability of a function, sum and products of integrable functions. New-ton-Leibniz formula. The integral function. Continuous or monotonic functions are integrable. Applica-tions of the integral, improper integrals: arc-length, area. Volume and surface of a body of rotation. Center of gravity. Improper integrals, majorant and minorant criteria.
Nyomtatóbarát változat
