A topológiai módszerek kulcsfontosságúak változatos jelenségek megértéséhez a modern szilárdtest-kutatásban. Ez a kurzus bevezetést nyújt ezeknek a módszereknek a matematikai hátterébe, amelyek az algebrai topológia, a differenciáltopológia és a differenciálgeometria találkozásánál helyezkednek el, illetve ezek fizikai alkalmazásaiba. Az alábbi témaköröket foglalja magába:

• Topologikus terek és sima sokaságok
• Valós és komplex projektív terek
• Homotópiaelmélet, fundamentális csoport
• Leképezés foka, Hopf-tétel
• Érintőmezők, Poincaré-Hopf-tétel
• Vektornyalábok, Euler-szám, Chern-szám
• Konnexió és görbület vektornyalábokon
• Topologikus invariánsokkal leírt lokális térkonfigurációk (doménfalak, skyrmionok, hopfionok)
• A sávszerkezet topológiája reciproktérben (egészszámú kvantumos Hall-effektus, Chern-szigetelők, topologikus szigetelők, Weyl-félfémek)
• Berry-konnexió és Berry-görbület, kapcsolatuk a topologikus invariánsokhoz és megfigyelhető jelenségekhez
• Topológia és kvantumstatisztika kapcsolata, törtstatisztika, Majorana-féle kötött állapotok, fonás

Topological concepts provide the key to understanding various phenomena in contemporary condensed-matter physics research. This course gives an introduction to the mathematical basics of these concepts located at the intersection of algebraic topology, differential topology and differential geometry, as well as to their physical applications. It will cover the following topics:

• Topological spaces and smooth manifolds
• Real and complex projective spaces
• Homotopy theory, fundamental group
• Degree of a mapping, Hopf theorem
• Tangent vector fields, Poincaré-Hopf theorem
• Vector bundles, Euler number, Chern number
• Connection and curvature of vector bundles
• Localized field configurations characterized by topological invariants (domain walls, skyrmions, hopfions)
• Topology of the band structure in reciprocal space (integer quantum Hall effect, Chern insulators, topological insulators, Weyl semimetals)
• Berry connection, Berry curvature and their connection to topological invariants and observable phenomena
• Connection between topology and quantum statistics, fractional statistics, Majorana bound states, braiding