Metrikus terek, teljesség, kompaktság (Baire-tétel, Arzela–Ascoli-tétel). Lineáris terek, Hahn–Banach-tétel lineáris térben. Normált terek és Banach-terek. Korlátos operátorok és funkcionálok. Hahn–Banach-tétel normált térben. A funkcionálanalízis alaptételei (egyenletes korlátosság tétele, nyílt leképezések tétele, zárt gráf tétel) és alkalmazásaik. Duális tér, speciális terek duálisai. Reflexivitás. Gyenge- és gyenge*-topológia. Az egységgömb kompaktsága a különböző topológiákban (gyenge- és gyenge*-topológiára bizonyítás nélkül). Korlátos operátor spektruma. Kompakt operátorok spektrálelmélete. Hilbert-terek, korlátos operátorok Hilbert-téren. Önadjungált kompakt operátorok spektráltétele.

Metric spaces, completeness, compactness (Baire theorem, Arzela–Ascoli theorem). Linear spaces, Hahn–Banach theorem on linear spaces. Normed spaces, Banach spaces. Bounded linear operators and functionals. Hahn–Banach theorem in normed spaces. Fundamental theorems of functional analysis: uniform boundedness theorem, open mapping theorem, closed graph theorem, and their applications. Dual spaces, specific examples, reflexivity. Weak and weak* topology. The compactness of the unit ball in different topologies (without proof for weak and weak* topologies). Spectrum of a bounded linear operator.  Spectral theory of compact operators. Hilbert spaces, bounded linear operators on Hilbert spaces. Spectral theory of self-adjoint compact operators.