
Az elmúlt tíz év óriási fejlődést hozott a síkbeli kritikus sztochasztikus folyamatok megértésében, amit a Schramm-Loewner Egyenlet bevezetése, Wendelin
Werner és Stanislav Smirnov Fields-medáljai is mutatnak. A kurzus tehát a modern matematika rendkívül aktív területére kíván bepillantást nyújtani.
– A Fortuin-Kasteleyn véletlen fürt modell és speciális esetei: perkoláció, – Smirnov tétele az Ising-spin és Ising-FK modellek konforminvarianciájáról. véletlen egyenletes eloszlású feszítőfák, Ising- és Potts-modellek. Szabad- és RSW-típusú tételek
rövidre zárt peremfeltételes végtelen térfogat limesz-mértékek, fázisátmenetek. – Wilson algoritmusa a véletlen egyenletes eloszlású feszítőfa generálására; a
– FKG-Harris és van den Berg-Kesten korrelációs egyenlőtlenségek. hurok-törölt bolyongás (loop-erased random walk).
– Bitek hatása Boole-függvényekre: Russo-formula, Bourgain-Kahn-Kalai- – Schramm-Loewner Egyenlet bevezetése.
Katznelson-Linial-tétel, Graham-Grimmett-féle általánosítás (többnyire – Az SLE néhány alaptulajdonsága, Bessel-folyamatok segítségével. bizonyítás nélkül). – Perkoláció kritikus exponensek számolása SLE segítségével.
– Kritikus perkoláció alaptételei: Russo-Seymour-Welsh és Harris-Kesten Kitekintés néhány haladóbb témára:
tételek (a perkolációs valószínűség folytonossága p_c-ben). – Közelkritikus modellek: Kesten-féle skálázási összefüggések perkolációban,
– Kritikus perkoláció konform-invarianciája: Cardy-formula, S. Smirnov tétele. Onsager kontra pivotális pontok az Ising-modellben, minimális feszítőfa.
– Síkbeli bolyongás univerzalitása, a Brown-mozgás konforminvarianciája, a – Dinamikus perkoláció: zaj-érzékenység, Fourier-spektrum, kivételes szabad Gauss-mező (Gaussian Free Field) konforminvarianciája. időpontok, Incipient Infinite Cluster
– Diszkrét komplex analízis. – Ising-modell Glauber-dinamikájának keverési idej
– Dominó-csempézések magasságfüggvénye, Kasteleyn-Temperley-Fisher- – Az SLE-k mint a GFF szintvonalai. Véletlen síkgráfok, Liouville kvantum technika, Kenyon tételének kimondása GFF-hez tartásról. gravitáció, KPZ-reláció